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Definiamo Modifica

  • $ \theta * $ il valore del parametro $ \theta $ che di fatto riscontreremo nelle successive osservazioni (nella popolazione)
  • $ \hat{\theta} $ il valore che assumiamo per $ \theta $ nei nostri conti (prima cioè di aver osservata la popolazione)
  • $ l(\theta* $, $ \hat{\theta}) $ una funzione di perdita che ci calcola che perdita subiamo, in una qualche unità di misura, per il fatto di utilizzare nel nostro contesto operativo $ \hat{\theta} $ al posto di θ*.
  • Il rischio dello stimatore è la speranza matematica della funzione di perdita ( L'obiettivo tipico della teoria della stima è quello di minimizzare tale rischio.)

L'errore quadratico medio (scarto quadratico medio o MSE) Modifica

è la più comune funzione di rischio adottata nelle applicazioni, calcolato usando la funzione di perdita

$ l(\theta* $, $ \hat{\theta}) = (\theta* $ - $ \hat{\theta})^2 $

è definito come:

$ MSE(\hat \theta) = E[(\theta $ - $ \hat{\theta})^2] $

Minimizzazione Modifica

Per la nostra formulazione del problema, in $ E[(\theta - \hat \theta)2] $, facendo la derivata prima (tenendo conto che $ \hat \theta $ è un valore fisso), questa si annulla per $ \hat \theta = E[\theta] $ .

Stimatore non deviato(o non polarizzato) Modifica

si intende uno stimatore che abbia appunto $ \hat \theta = E[\theta] $.

Detto in altre parole, l'assenza di deviazione

  • consiste semplicemente nella richiesta che il valore atteso dello stimatore sia uguale al parametro teorico q, per ogni possibile valore di q.
  • afferma che la variabile casuale t deve avere una distribuzione il cui valore atteso coincide con il parametro stimato q.