Spazio Topologico

Definizione

Si definisce topologia una collezione $T$ di sottoinsiemi di un insieme $X$ tali che:

• L'insieme vuoto e $X$ appartengono a $T$ : $\emptyset \in T$ e $X \in T$
• L'unione di una quantità arbitraria di insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$ : $\; \bigcup Z \in T,\; \forall Z \subseteq T$
• L'intersezione di due insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$ : $\; Y \cap W \in T,\; \forall \;Y,W \in T$

Uno spazio topologico è una coppia $(X, T)$, dove $X$ è un insieme e $T$ una topologia. In uno spazio topologico gli insiemi che costituiscono $T$ si dicono aperti in $X$.

I complementari degli insiemi aperti sono detti chiusi.

Inoltre dalla terza condizione di topologia, e per induzione, si deduce che l'intersezione di un numero finito di insiemi appartenenti a $T$ appartiene a $T$. 

Definizioni equivalenti possono essere date attraverso la collezione dei chiusi.

Topologie su un insieme

Un insieme fissato $X$ ammette in generale numerose topologie $T$ differenti. Ad esempio:

• $T = \{ \emptyset, X \}$, detta topologia banale
• $T = \mathcal{P}(X)$, detta topologia discreta
• $T = \{U \; | \; X-U$ è finito o è tutto $X\}$, detta topologia cofinita

Qui $\mathcal{P}(X)$ è l'insieme delle parti di $X$. Quindi nella topologia banale solo $\emptyset$ e $X$ sono aperti, mentre in quella discreta tutti i sottoinsiemi sono aperti.

Due topologie $T,T'$ su un insieme $X$ sono confrontabili se una delle due è sottoinsieme dell'altra. Se $T$ contiene $T'$ , la topologia $T$ è topologia più fine di $T'$ .

Ad esempio, su $X = \{a,b,c\}$ la topologia $\{\emptyset,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ è più fine di $\{\emptyset,X,\{a\}\}$.

L'insieme di tutte le topologie su X formano con questa relazione un insieme parzialmente ordinato, in cui le topologie banale e discreta sono rispettivamente minimo e massimo