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In statistica, il momento semplice di ordine k di una variabile casuale è definito come la media della k-esima potenza dei valori

$ \mu_k = \sum_{i=1}^{n} x_i^k p_i $, dove $ p_i $ denota la funzione di probabilità della variabile casuale.

ovvero, nel caso di una variabile aleatoria continua:

$ \mu_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k p_X(x) dx $

dove $ p_X(x) $ denota la funzione di densità della variabile casuale.

Il momento centrale di ordine k è definito come la media della k-esima potenza dello scarto dalla media μ = μ1

$ m_k = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^k p_i $

ovvero, nel caso di una variabile aleatoria continua

$ m_k = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^k p_X(x)dx $

dove $ \mu $ denota il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

  • μ0 e m0 sono sempre uguali all'unità
  • m1 è sempre nullo
  • μ1 è la media aritmetica, indicata tradizionalmente con μ
  • m2 = μ2 - μ1² è la varianza, indicata tradizionalmente con σ²

In generale, la relazione tra il momento centrale (mk) e i momenti semplicil) è data da:

$ m_k = \sum_{r=0}^{k} C(k;r) \mu_{k-r} (-\mu)^r $

per cui, oltre a quanto indicato sopra:

  • m3 = μ3 - 3μ2μ + 2μ3
  • m4 = μ4 - 4μ3μ + 6μ2μ2 - 3μ4