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In "teoria della probabilità", la probabilità di un evento A condizionata ad un evento B è la probabilità che si verifichi A dato il verificarsi dell'evento B. Tale probabilità, che si indica con P(A|B), esprime una sorta di "correzione" delle aspettative dettata dall'osservazione di B e dunque dalla modificazione dei dati in possesso. Una precisazione importante riguarda il fatto che la probabilità condizionata ha senso solo se l'evento B si può verificare (non è l'evento impossibile), altrimenti non ha senso.

Per dare un esempio, se in un'urna contenente 10 palline blu e 10 nere ne sono state tolte mediante estrazione casuale 7 nere (evento B) allora la probabilità che la prossima estratta sia blu (evento A), che prima era di 1/2, è 10/13, poiché nell'urna ora sono rimaste molte più palline blu in rapporto a quelle nere.

In termini rigorosi, dato un insieme S dotato di una misura di probabilità P e dati due eventi A e B, con P(B)>0, si definisce la probabilità di A condizionata a B come la misura di A nel sottospazio costituito dall'insieme B dotato della misura di probabilità A \mapsto \frac1 {P(B)}P(A \cap B). Dunque la misura di A condizionata a B è data dal valore

P(A | B) = \frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }.

Tale formula è usata nel teorema della probabilità composta, il quale è a sua volta usato nel teorema di Bayes, che è il fondamento della statistica bayesiana. Quando l'intersezione di due insiemi non è nota, per il calcolo è utile una partizione sull'insieme B.

Casi particolariModifica

1) La probabilità condizionata di due insiemi disgiunti è zero. Poiché per definizione, due insiemi si dicono disgiunti se non si intersecano mai, la probabilità dell'intersezione sarà zero (probabilità dell'evento impossibile). Dunque, se A \cap B = \varnothing, allora P(A \cap  B) = 0, e P(A | B) = 0;

2) Se B \subset A, vale che  A \cap B = B, e quindi:

P(A | B) = \frac{ P(A \cap B) }{ P(B) } = P(B) / P(B) = 1.

Ripetendo la stessa cosa per l'insieme A, non si ottiene un cambiamento di variabile muta, ma un breve risultato che diviene interessante quando si considera un insieme in particolare, lo spazio probabilistico \Omega (del quale quindi A e B sono sottoinsiemi).

Se A \subset B, varrà che  A \cap B = A e che:

P(A | B) = P(A) / P(B) .

Se B è l'insieme dei valori possibili, lo spazio probabilistico \Omega, ritroviamo la definizione di probabilità "casi favorevoli/ casi possibili" come un caso particolare della probabilità condizionata.

Se invece sostituiamo nella prima espressione A = \Omega, otteniamo il valore 1 (che corrisponde a certezza con un numero finito di valori) al fatto che il "tutto è condizionato dalla parte" (\Omega, condizionato da A).

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