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Il teorema del limite centrale, di fondamentale importanza per l’inferenza statistica, consente di dimostrare che qualunque sia la distribuzione della popolazione da cui provengono i campioni, la distribuzione della media campionaria è legata alla distribuzione normale.

Questa variabile aleatoria è la media campionaria standardizzata:

$ Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $

Riferendoci a questa variabile, vale il teorema seguente:

Teorema Modifica

Sia data una popolazione avente media $ \mu $ e varianza $ \sigma^2 $, e da essa si estraggano campioni casuali di ampiezza $ n $ indicando con $ \overline{X} $ la media campionaria, la variabile

$ Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} $

è una variabile aleatoria la cui distribuzione tende alla distribuzione normale standardizzata per

$ n\to\infty $