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Il teorema di Bayes, proposto da Thomas Bayes, deriva da due teoremi fondamentali delle probabilità: il teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità assoluta. Viene spesso usato per calcolare le probabilità a posteriori (posterior probabilities) date delle osservazioni. Per esempio si possono osservare determinati sintomi in un paziente: il teorema può essere utilizzato per verificare la correttezza della diagnosi proposta, date quelle certe osservazioni.

Formalmente il teorema di Bayes è valido in tutte le interpretazioni della probabilità. In ogni caso, l'importanza di questo teorema per la statistica è tale che la divisione tra le due scuole (statistica bayesiana e statistica frequentista) nasce dall'interpretazione che si dà al teorema stesso.

Dichiarazione del teorema di Bayes Modifica

Considerando un insieme di alternative A_1, A_2, ... A_n (partizione dello spazio degli eventi) si trova la seguente espressione per la probabilità condizionata:

P(A_i|E) = \frac{P(E | A_i) P(A_i)}{P(E)} = \frac{P(E | A_i) P(A_i)}{\sum_{j=1}^n P(E | A_j) P(A_j)}

Dove:

  • P(A) è la probabilità a priori o probabilità marginale di A. "A priori" significa che non tiene conto di nessuna informazione riguardo E.
  • P(A|E) è la probabilità condizionata di A, noto E. Viene anche chiamata probabilità a posteriori, visto che è derivata o dipende dallo specifico valore di E.
  • P(E|A) è la probabilità condizionata di E, noto A.
  • P(E) è la probabilità a priori di E, e funge da costante di normalizzazione.

Intuitivamente, il teorema descrive il modo in cui le opinioni nell'osservare A siano arricchite dall'aver osservato l'evento E.

Un esempio Modifica

Si consideri una scuola che ha il 60% di studenti maschi e il 40% di studentesse femmine. Le studentesse indossano in egual numero gonne o pantaloni; gli studenti indossano tutti quanti i pantaloni. Un osservatore, da lontano, nota un generico studente coi pantaloni. Qual è la probabilità che quello studente sia una femmina?

Il problema può essere risolto con il teorema di Bayes, ponendo l'evento A che lo studente osservato sia femmina, e l'evento B che lo studente osservato indossa i pantaloni. Per calcolare P(A|B), dovremo sapere:

  • P(A), ovvero la probabilità che lo studente sia femmina senza nessun'altra informazione. Dato che l'osservatore vede uno studente a caso, ciò significa che tutti gli studenti hanno la stessa probabilità di essere osservati. Essendo le studentesse il 40% del totale, la probabilità risulterà 2/5.
  • P(A'), ovvero la probabilità che lo studente sia maschio senza nessun'altra informazione. Essendo A' l'evento complementare di A, risulta 3/5.
  • P(B|A), ovvero la probabilità che uno studente indossi i pantaloni, noto che lo studente è femmina. Poiché indossano gonne e pantaloni in egual numero, la probabilità sarà di 1/2.
  • P(B|A'), ovvero la probabilità che uno studente indossi i pantaloni, noto che lo studente è maschio. Tutti gli studenti maschi indossano i pantaloni, quindi vale 1.
  • P(B), ovvero la probabilità che uno studente a caso indossi i pantaloni, senza nessun'altra informazione. Poiché P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), questa risulta 0.5x0.4 + 1x0.6 = 4/5.

Ciò detto, possiamo applicare il teorema:

P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}.

C'è pertanto 1/4 di probabilità che lo studente sia femmina.

Derivazione del teorema Modifica

Il problema deriva dalla definizione di probabilità condizionata. La probabilità di un evento A, noto un evento B risulta:

P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

In modo analogo, la probabilità di un evento B noto un evento A:

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. \!

Da queste, deriva che:

P(A|B)\, P(B) = P(A \cap B) = P(B|A)\, P(A). \!

Dividendo ogni termine per P(B), posto questo diverso da zero, si trova il teorema di Bayes:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}. \!

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