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Il test d'ipotesi rappresenta una tra le più importanti tecniche di inferenza statistica perchè fornisce una metodologia per prendere DECISIONI su delle popolazioni a partire da campioni estratti da esse.

Esempio Modifica

Sia X la variabile aleatoria che modellizza le precipitazioni a Milano. X sarà distribuita con una normale $ N(m;\sigma^2) $ immaginiamo $ \sigma^2 $ nota e $ m $ (la media teorica delle precipitazioni) incognita. Consideriamo le precipitazioni di quest'ultimo anno, ciò equivale ad osservare un campione di precipitazioni $ {X_1, X_2, X_3, ..., X_n} $ e sia $ \bar{X} $ la media campionaria ottenuta dai valori osservati. La media storica delle precipitazioni, ovvero la media degli anni passati è nota $ m_0 $.

2 ipotesi Modifica

$ H_0: m = m_0 $ la nuova media coincide con la media storica. $ H_1: m > m_0 $ la media delle precipitazioni si è alzata (sono necessari, ad esempio, nuovi tombini!).

Una sola delle due ipotesi corrisponde alla verità.

La scelta comporta delle decisioni che avranno delle conseguenze: se decido che è vera l'ipotesi $ H_1 $, allora sarà utile far costruire nuovi tombini per far fronte alle aumentate necessità, se invece decido che è vera l'ipotesi $ H_0 $ non faccio nulla.

Come procedere? Modifica

Abbiamo lo stimatore di $ m $, la media campionaria delle precipitazioni $ \bar{X} $, perciò lo usiamo per capire se la nuova media delle precipitazioni si discosta significativamente dalla media storica o no. Abbiamo bisogno di una regola per decidere se ritenere o no che il risultato osservato, in questo caso $ \bar{X} $ sia a favore o contro l'ipotesi $ H_0 $. Essendo fatti aleatori, non posso essere sicuro di aver preso la decisione giusta.

Bisogna perciò considerare l'ipotesi meno rischiosa: se scelgo la prima ipotesi e mi sbaglio subisco un danno molto più forte (città allagata) rispetto al danno che ho se mi sbaglio scegliendo la seconda ipotesi. Al massimo avrei costruito inutilmente nuovi tombini, che è dannoso di un allagamento in città.

Quindi mi metto nella condizione di commettere sempre l'errore della seconda ipotesi, cercando di minimizzare le probabilità che accada.

Criterio del test Modifica

Rifiuto $ H_0 $ se $ X > k* > m_0 $ Così sono sicuro che la media osservata si discosta abbastanza da quella storica. Il problema è allora cercare il punto critico $ k* $, che si trova con le tecniche apprese per determinare gli intervalli di confidenza.